Fungsi ketumpatan kebarangkalian itu, yang asalnya ditulis oleh Landau, ditakrifkan dengan kamiran kompleks:

p ( x ) = 1 2 π i ∫ a − i ∞ a + i ∞ e s log ⁡ ( s ) + x s d s , {\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}

di mana a ialah nombor nyata positif, bermakna lintasan kamirannya boleh terdiri dari mana-mana yang berselari dengan paksi khayalan, bersilang dengan paksi-separa positif nyata, dan log {\displaystyle \log } merujuk kepada logaritma asli.

Kamiran nyata berikut sama dengan di atas:

p ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ e − t log ⁡ ( t ) − x t sin ⁡ ( π t ) d t . {\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}

Kumpulan penuh taburan-taburan Landau boleh didapati dengan melanjutkan taburan asal itu ke dalam sebuah kumpulan kedudukan-skala bagi taburan-taburan stabil dengan parameter α = 1 {\displaystyle \alpha =1} dan β = 1 {\displaystyle \beta =1} ,[2] dengan fungsi cirian:[3]

φ ( t ; μ , c ) = exp ⁡ ( i t μ − 2 i c t π log ⁡ | t | − c | t | ) {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}

di mana c ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle c\in (0,\infty )} dan μ ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )} , yang memberikan sebuah fungsi ketumpatan:

p ( x ; μ , c ) = 1 π c ∫ 0 ∞ e − t cos ⁡ ( t ( x − μ c ) + 2 t π log ⁡ ( t c ) ) d t , {\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}

Bentuk asal p ( x ) {\displaystyle p(x)} diperolehi dengan μ = 0 {\displaystyle \mu =0} dan c = π 2 {\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}} , sementara berikut adalah penghampiran[4] bagi p ( x ; μ , c ) {\displaystyle p(x;\mu ,c)} dengan μ = 0 {\displaystyle \mu =0} dan c = 1 {\displaystyle c=1} :

p ( x ) ≈ 1 2 π exp ⁡ ( − x + e − x 2 ) . {\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}